Распределение освещенности в изображении щели

Дифракционная решетка

В спектральных приборах для пространственного разложения света в спектр используются дифракционные решетки. Дифракционная решетка – это оптический элемент, состоящий из большого числа регулярно расположенных штрихов, нанесенных на плоскую или вогнутую поверхность. Решетки могут быть прозрачными или отражательными. Кроме того, различают амплитудные и фазовые дифракционные решетки. У первых периодически изменяется коэффициент отражения, что вызывает изменение амплитуды падающей волны. У фазовых дифракционных решеток штрихам придается специальная форма, которая периодически изменяет фазу световой волны. Наибольшее распространение получила плоская отражательная фазовая дифракционная решетка с треугольным профилем штрихов – эшелетт.

Пояснение принципа действия дифракционной решетки
Рис.1. Пояснение принципа действия дифракционной решетки.

Уравнение решетки

Фронт световой волны, падающей на дифракционную решетку, разбивается её штрихами на отдельные когерентные пучки. Когерентные пучки, претерпев дифракцию на штрихах, интерферируют, образуя результирующее пространственное распределение интенсивности света. Распределение интенсивности пропорционально произведению двух функций: интерференционной \bm{I_N} и дифракционной \bm{I_D}. Функция \bm{I_N} обусловлена интерференцией \bm{N} когерентных пучков, идущих от штрихов решетки. Функция \bm{I_D} определяется дифракцией на отдельном штрихе.

Разность хода между когерентными параллельными пучками, идущими под углом \bm{\beta} от соседних штрихов, составит \bm{ \Delta s = AB+AC } или \bm{ \Delta s = d \cdot (\sin{ \alpha }+\sin{ \beta })} \; \eqno(1), а \bm{ \gamma = \frac{2 \cdot \pi \cdot d}{\lambda} \cdot (\sin{ \alpha }+\sin{ \beta }) } \; \eqno(2) – это соответствующая разность фаз. Функция \bm{I_N \sim \left ( \frac {\sin{N \cdot \frac{\gamma}{2}}} {\sin{\frac{\gamma}{2}}} \right ) ^2} – периодическая функция с разными интенсивными главными максимумами. Положение главных максимумов определяется из условия \bm{ \sin{ \frac{\gamma}{2} } = 0 } , откуда \bm{ \frac{\gamma}{2} = k \cdot \pi } \; \eqno(3), где \bm{k} – порядок спектра. Из (1) и (2) следует: \bm{ \Delta s = \frac{\gamma}{2} \cdot \frac{\lambda}{\pi} } . Используя (3) получим \bm{ \Delta s = k \cdot \lambda } , подставив в (1): \bm{ d \cdot ( \sin{ \alpha }+\sin{ \beta } ) = k \cdot \lambda } \; \eqno(4).

Это соотношение называется уравнением дифракционной решетки. Оно показывает, что главные максимумы образуются в направлениях, когда разность хода между соседними пучками равна полному числу длин волн. Между соседними главными максимумами расположено \bm{N-2} вторичных максимумов, интенсивность которых уменьшается пропорционально величине \bm{1/N}, и \bm{N-1} минимумов, где интенсивность равна нулю. Уравнение решетки для применения к монохроматорам используют в более удобном виде. Так как разность между углами \bm{\alpha} и \bm{\beta} постоянна при вращении решетки и эта разность известна \bm{\theta}, она определяется конструкцией монохроматора, то от двух переменных \bm{\alpha} и \bm{\beta} переходят к одной \bm{\varphi} – углу поворота решетки от нулевого порядка.

Обозначив \bm{ \alpha = \varphi + \frac{\theta}{2} }  и  \bm{ \beta = \varphi - \frac{\theta}{2} } , после преобразований суммы синусов получим уравнение решетки в другой более удобной форме: \bm{ 2 \cdot d \cdot \sin{ \varphi } \cdot \cos{ \frac{\theta}{2} } = k \cdot \lambda } \; \eqno(5), где \bm{\varphi} – угол поворота решетки по отношению к положению нулевого порядка; \bm{\theta / 2} – половинный угол при решетке между падающим и дифрагированным лучами. Часто уравнение решетки используют в виде: \bm{ \sin{ \varphi } = \frac{ k \cdot \lambda \cdot N }{ 2 \cdot \cos{ \frac{\theta}{2} } } } \; \eqno(6).

Если дифрагированноое излучение, идущее от решетки, направить в объектив, то в его фокальной плоскости образуются спектры при каждом значении числа \bm{k \ne 0}. При \bm{k = 0} (нулевой порядок спектра) спектр не образуется, т.к. \bm{ d \cdot ( \sin{ \alpha }+\sin{ \beta } ) = 0 } выполняется для всех длин волн. Кроме того, \bm{ \beta = - \alpha } , т.е. направление на максимум нулевого порядка определяется зеркальным отражением от плоскости решетки.

Длина волны блеска

Как рассчитать длину волны блеска для исследуемого спектрального диапазона, чтобы выбрать решетку.

Отражательная способность дифракционных решеток зависит от угла наклона штрихов – изменяя угол наклона грани штриха можно совместить центр дифракционного максимума функции \bm{I_D} с интерференционным главным максимумом функции \bm{I_N} любого порядка. Направление на центр дифракционного максимума определяется зеркальным отражением падающего пучка не от плоскости решетки, а от грани штриха. Таким образом, условие такого совмещения: углы \bm{\alpha} и \bm{\beta_{max}} должны одновременно удовлетворять соотношениям: \begin{cases} \bm{ d \cdot ( \sin{ \alpha }+\sin{ \beta } ) = k \cdot \lambda } \\ \bm{ \alpha + \beta_{max} = 2 \cdot \psi } \end{cases} \eqno(7).

При этих условиях спектр данного порядка будет иметь наибольшую интенсивность. Угол \bm{\beta_{max}} называют углом «блеска», а длину волны – длиной волны «блеска» \bm{\lambda_{Blaze}} . Если область спектра для проведения исследований известна, то \bm{\lambda_{Blaze}} может быть определена из соотношения: \bm{ \lambda_{Blaze} = \frac{2 \cdot \lambda_1 \cdot \lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2} } \; \eqno(8), где \bm{\lambda_1} и \bm{\lambda_2} – граничные длины волн диапазона спектра. Соотношение (8) помогает правильно выбрать решетку.

Пример 1. Исследуемый диапазон 400…1200 нм, т.е. \bm{\lambda_1 =} 400 нм, \bm{\lambda_2 =} 1200 нм. Тогда из формулы (8): \bm{\lambda_{Blaze} =} 600 нм. Выберите решетку с блеском 600 нм.

Пример 2. Исследуемый диапазон 600…1100 нм. Расчет по формуле (8) дает с округлением 776 нм. Решетки с таким блеском в предлагаемом списке нет. Выбирается решетка с блеском, ближайшим к найденному, т.е. 750 нм.

Область энергетической эффективности дифракционной решетки

Область, где коэффициент отражения решетки не менее 0.405, называется областью энергетической эффективности: \bm{ \Delta \lambda_E = \lambda_{Blaze} \cdot \frac{4 \cdot k}{4 \cdot k^2 - 1} } \; \eqno(9). Величина \bm{ \Delta \lambda_E } зависит от порядка спектра: максимальна в первом порядке и быстро падает в спектрах более высоких порядков. Для первого порядка: \bm{ \Delta \lambda_E = \frac{4}{3} \cdot \lambda_{Blaze} } . Длины волн, ограничивающие эту область: \bm{ \lambda_1 = \frac{2}{3} \cdot \lambda_{Blaze} } и \bm{ \lambda_2 = 2 \cdot \lambda_{Blaze} } .

Область дисперсии

Как совместить область дисперсии с областью энергетической эффективности дифракционной решетки.

Область дисперсии – спектральный интервал, в котором спектр данного порядка не перекрывается спектрами соседних порядков. Следовательно, имеет место однозначная связь между углом дифракции и длиной волны. Область дисперсии определяется из условия: \bm{ k \cdot \lambda_2 = (k+1) \cdot \lambda_1 } .

\bm{ \Delta \lambda_{D} = \lambda_2 - \lambda_1 = \frac{\lambda_1}{k} } \; \eqno(10). Для первого порядка \bm{ \Delta \lambda_D = \lambda_1 } , а \bm{ \lambda_2 = 2 \cdot \lambda_1 } , т.е. область дисперсии охватывает интервал в одну октаву. Чтобы совместить область дисперсии с областью энергетической эффективности дифракционной решетки, необходимо чтобы выполнялось условие: \bm{ \lambda_{Blaze} = \frac{4}{3} \cdot \lambda_1 = \frac{2}{3} \cdot \lambda_2 } \; \eqno(11). В этом случае в пределах области дисперсии коэффициент отражения решетки для \bm{k = 1} будет не менее 0.68.

Пример. Если \bm{\lambda_{Blaze} = } 600 нм, тогда \bm{ \lambda_1 = \frac{3}{4} \cdot \lambda_{Blaze} = } 450 нм, а \bm{ \lambda_2 = \frac{3}{2} \cdot \lambda_{Blaze} = } 900 нм. Таким образом, для данной дифракционной решетки в диапазоне от 450 нм до 900 нм область дисперсии совмещена с областью энергетической эффективности.

Дисперсия

Степень пространственного разделения лучей с разной длиной волны характеризует угловая дисперсия. Выражение для угловой дисперсии получим, дифференцируя уравнение для решетки: \bm{ \frac{ d \beta }{ d \lambda } = \frac{ (\sin{ \alpha } + \sin{ \beta }) }{ \lambda \cdot \cos{ \beta }} } \; \eqno(12). Из этого выражения следует, что угловая дисперсия определяется исключительно углами \bm{\alpha} и \bm{\beta} , но не числом штрихов. В применении к спектральным приборам используется обратная линейная дисперсия \bm{\frac{ d \lambda }{ d x }} , которая определяется как обратная величина произведения угловой дисперсии на фокусное расстояние: \bm{ \frac{ d \lambda }{ d x } = \frac{ d \cdot \cos{ \beta } }{ k \cdot f }}.

Разрешающая способность

Теоретическая разрешающая способность: \bm{ R = \frac{ \lambda }{ \delta \lambda }} , где \bm{\delta \lambda} – разрешение. Разрешающая способность дифракционной решетки как любого спектрального прибора определяется спектральной шириной аппаратной функции \bm{\delta \lambda} . Для решетки шириной аппаратной функции является ширина главных максимумов интерференционной функции: \bm{ \delta \lambda = \frac{ \lambda }{ k \cdot N }} . Тогда: \bm{ R = k \cdot N } \; \eqno(14). Спектральная разрешающая способность дифракционной решетки равна произведению порядка дифракции \bm{k} на полное число штрихов \bm{N}. Используя уравнение решетки: \bm{ R = \frac{ N \cdot d \cdot (\sin{ \alpha } + \sin{ \beta }) }{ \lambda }} \; \eqno(15), где произведение \bm{N \cdot d} – длина заштрихованной части решетки. Из выражения (15) видно, что при заданных углах \bm{\alpha} и \bm{\beta} величина \bm{R} может быть увеличена только за счет увеличения размеров дифракционной решетки. Выражение для разрешающей способности может быть представлено в другом виде из (12) и (15): \bm{ R = N \cdot d \cdot \cos{ \beta } \cdot \frac{ d \beta }{ d \lambda }} \; \eqno(16), где \bm{ N \cdot d \cdot \cos{ \beta } } – ширина дифрагированного пучка, \bm{ \frac{ d \beta }{ d \lambda } } – угловая дисперсия. Выражение (16) показывает, что разрешающая способность прямо пропорциональна величине угловой дисперсии.

Спектральная область решетки в зависимости от числа штрихов

Для каждой дифракционной решетки с периодом \bm{d} существует предельная максимальная длина волны \bm{\lambda_{\textbf{\textit{Max}}}} . Она определяется из уравнения решетки при \bm{k=1} и \bm{ \alpha = \beta = 90^{\circ}} и равна \bm{ \lambda_{\textbf{\textit{Max}}} = 2 \cdot d} .

Поэтому при работе в различных областях спектра используются решетки с различным числом штрихов:

  • для УФ области: 3600 — 1200 штр/мм;
  • для видимой области: 1200 — 600 штр/мм;
  • для ИК области: менее 300 штр/мм.

Вогнутая дифракционная решетка

Вогнутая дифракционная решетка выполняет роль не только диспергирующей, но и фокусирующей системы. Выражения для спектроскопических характеристик – угловой дисперсии, разрешающей способности и области дисперсии – такие же, как для плоской решетки. Вогнутые решетки, в отличие от плоских дифракционных решеток, обладают астигматизмом. Астигматизм устраняют нанесением штрихов на асферическую поверхность или с изменяющимися по некоторому закону расстояниями между штрихами.

Голографическая дифракционная решетка

Качество дифракционной решетки определяется величиной интенсивности рассеянного света, обусловленного наличием мелких дефектов на гранях отдельных штрихов, и интенсивностью «духов» — ложных линий, возникающих при нарушении эквидистантности в расположении штрихов. Преимуществом голографических решеток по сравнению с нарезными являются отсутствие «духов» и меньшая интенсивность рассеянного света. Однако голографическая фазовая отражательная решетка имеет синусоидальную форму штриха, т. е. не является эшеллетом, поэтому обладает меньшей энергетической эффективностью (Рис.2).

Получение голографических решеток с треугольным профилем штриха, так называемых «блазированных», ведет к возникновению на гранях штрихов микроструктур, что увеличивает интенсивность рассеянного света. Кроме того, не достигается правильный треугольный профиль, что уменьшает энергетическую эффективность таких решеток.

Профили штриха нарезной и голографической дифракционных решеток
Рис.2. Профили штриха нарезной (а) и голографической (б) решеток.

Распределение освещенности в изображении щели

Аберрация

Сферическая аберрация, кома, астигматизм, кривизна поля, дисторсия, хроматическая аберрация.

Аберрации

Идеальная оптическая система дает точечное изображение точки. В параксиальной области оптическая система близка к идеальной. Но при конечной ширине пучков и удалении источника от оптической оси нарушаются правила параксиальной оптики и изображение искажается. При конструировании оптической системы аберрации приходится исправлять.

Сферическая аберрация

Распределение освещенности в пятне рассеяния при сферической аберрации таково, что в центре получается острый максимум при быстром уменьшении освещенности к краю пятна. Эта аберрация единственная, которая остается и в том случае, если точка-объект находится на главной оптической оси системы. Сферическая аберрация особенно велика в светосильных системах (с большим относительным отверстием).

Кома

Изображение точки при наличии комы имеет вид несимметричного пятна, освещенность которого максимальна у вершины фигуры рассеяния.

Астигматизм

Обусловлен неодинаковой кривизной оптической поверхности в разных плоскостях сечения и проявляется в том, что волновой фронт деформируется при прохождении оптической системы, и фокус светового пучка в разных сечениях оказывается в разных точках. Фигура рассеяния представляет собой семейство эллипсов с равномерным распределением освещенности. Существуют две плоскости – меридиональная и перпендикулярная ей сагиттальная, в которых эллипсы превращаются в прямые отрезки. Центры кривизны в обоих сечениях называют фокусами, а расстояние между ними является мерой астигматизма.

Кривизна поля

Отклонение поверхности наилучшей фокусировки фокальной плоскости представляет собой аберрацию, называемую кривизной поля.

Дисторсия

Дисторсия заключается в искажении изображения вследствие неодинакового линейного увеличения различных частей изображения. Эта аберрация зависит от расстояния от точки до оптической оси и проявляется в нарушении закона подобия.

Хроматическая аберрация

Вследствие дисперсии света проявляются два вида хроматической аберрации: хроматизм положения фокусов и хроматизм увеличения. Первый характеризуется смещением плоскости изображения для разных длин волн, второй – изменением поперечного увеличения. Хроматическая аберрация проявляется в оптических системах, включающих элементы из преломляющих материалов. Зеркалам хроматические аберрации не свойственны. Это обстоятельство делает особенно ценным применение зеркал в монохроматорах, спектрографах и других оптических системах.

Освещенность входной щели

Когерентное и некогерентное освещение.

Существенное значение для распределения интенсивности по ширине спектральной линии имеет характер освещения входной щели прибора, т.е. степень когерентности освещения. Практически освещение входной щели не бывает строго когерентным или некогерентным. Однако можно подойти очень близко к одному из этих двух крайних случаев. Когерентное освещение может быть осуществлено, если осветить щель точечным источником, расположенным в фокусе конденсора большого диаметра, поставленного перед щелью.

Другой способ – это безлинзовое освещение, когда источник небольших размеров помещается на большом расстоянии от щели. Некогерентное освещение можно получить, если с помощью конденсорной линзы сфокусировать источник света на входную щель прибора. Другие способы освещения занимают промежуточное положение. Важность их разграничения связана с тем, что при освещении когерентным светом могут иметь место интерференционные явления, которые не наблюдаются при освещении некогерентным светом.

Если основным требованием является достижение максимального разрешения, то апертуру дифракционной решетки заполняют когерентным светом в плоскости, перпендикулярной щели. Если требуется обеспечить максимальную яркость спектра, тогда применяют способ некогерентного освещения, при котором заполняется апертура также и в плоскости, параллельной щели.

Заполнение апертуры светом

F/# matcher

Одним из основных параметров, который характеризует спектральный прибор, является его светосила. Светосила определяется максимальным угловым размером пучка света, попадающего в прибор, и измеряется отношением диаметра \bm{(d_k)} к фокусному расстоянию \bm{(f_k)} коллиматорного зеркала. На практике часто используют обратную величину, называющуюся \bm{F\!/\!\#}: \bm{ F\!/\!\# = \frac{f_k}{d_k} }. В спектральных приборах зеркала, как правило, прямоугольной формы. \bm{F\!/\!\#} для прямоугольных зеркал рассчитывается из условия равенства площадей коллиматора и круга диаметром \bm{(d_k)}. Например, площадь коллиматора равна \bm{S_k} , тогда: \bm{ S_k = \frac{\pi \cdot d_k^2}{4} } или \bm{ d_k = 2 \cdot \sqrt{\frac{S_k}{\pi}} }. Для оптических систем большой светосилы, например объективов, световодов и др. вместо \bm{F\!/\!\#} предпочтительнее использовать другую характеристику – числовую апертуру. Числовая апертура \bm{(N.A.)} связана с \bm{F\!/\!\#} соотношением: \bm{ N.A. = \frac{1}{2 \cdot F\!/\!\#} }.

Если используется промежуточный источник, то с помощью собирающей линзы можно получить его уменьшенное изображение на входной щели и тем самым увеличить поток света, попадающего в прибор. Однако при этом увеличивается телесный угол входящего в спектральный прибор излучения. Коллиматор оказывается перезаполнен, и часть излучения рассеивается, создавая паразитный фон. Оптимальное отображение протяженного некогерентного источника света на входную щель прибора достигается в том случае, когда телесный угол пучка падающего света равен входному углу прибора.

Заполнение апертуры светом
Рис.3. Заполнение апертуры светом.
Схема F/# matcher
Рис.4. Схема F/# matcher.

На (Рис.3): \bm{ \theta = \left(\frac{a_2}{a_1}\right)^2 \cdot \theta} ; \bm{ a_2 > a_1 } ; \bm{ \theta = \left(\frac{d_k}{f_k}\right)^2 }. Поток прошедшего излучения зависит от произведения \bm{A \cdot \theta} , где \bm{A} – площадь входной щели; \bm{\theta} – входной телесный угол. Если щель и коллиматор заполнены светом, то никакая добавочная система линз и зеркал не поможет увеличить общий поток излучения, проходящий сквозь систему. Для конкретного спектрального прибора максимальный входной телесный угол есть величина постоянная, определяемая размерами и фокусным расстоянием коллиматора: \bm{ \theta = \frac{1}{(F\!/\!\#)^2} }.

Для согласования угловых апертур источника света и спектрального прибора используется специальное устройство, называемое F/# matcher. F/# matcher применяется совместно со спектральным прибором, обеспечивая его максимальную светосилу, как со световодом, так и без него.

Достоинствами F/# matcher являются:

  • Использование полной геометрической светосилы спектрального прибора
  • Уменьшение рассеянного света
  • Сохранение хорошего спектрального и пространственного качества изображения
  • Возможность применения светофильтров неодинаковой толщины без искажений фокусировки

Методические материалы СОЛ инструментс:

Обучающий центр:

Консультация

связаться с нами